题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知函数
（I）求函数的极值；
（II）对于函数和定义域内的任意实数,若存在常数,使得不等式和都成立,则称直线是函数和的“分界线”．
设函数，，试问函数和是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程．若不存在请说明理由．

答案

（I）,无极大值；（II）函数和存在“分界线”，方程为．

解析

试题分析：（I）首先求函数的定义域，解方程得可能的极值点，进一步得的单调性，最后根据导函数在零点附近的变号情况求的极值；（II）函数和的图象在处有公共点.设函数和存在“分界线”，方程为，由对任意恒成立，确定常数，从而得“分界线”的方程为，再证明在时也恒成立，最后确定函数和的“分界线”就是直线．
试题解析：（I）．
令得，
所以在上单调递减，上单调递增，
又，
所以,无极大值.  
（II）由（I）知，
所以函数和的图象在处有公共点.  
设函数和存在“分界线”，方程为，
应有对任意恒成立，即在时恒成立，
于是，得，
则“分界线”的方程为． 
记，则
令得，所以在上单调递增，上单调递减，
当时，函数取得最大值，即在时恒成立.  
综上所述，函数和存在“分界线”，方程为 ……