题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
1 |
2 |
(1)当a=-2时,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;
(2)在(1)的条件下,设函数φ(x)=e2x-bex(e为自然对数的底数),x∈[0,ln2],求函数φ(x)的最小值;
(3)令V(x)=2f(x)-x2-kx(k∈R),如果V(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(0<x1<x2)两点,且线段AB的中点为C(x0,0),求证:V′(x0)≠0.
答案
因为函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内是增函数,所以h"(x)≥0恒成立,即h′(x)=
1 |
x |
所以b≤
1 |
x |
1 |
x |
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
(2)设t=ex,则函数φ(x)=e2x-bex等价为ω(t)=t2+bt,t∈[1,2],
则ω(t)=t2+bt=(t+
b |
2 |
b2 |
4 |
2 |
所以①当
b |
2 |
2 |
②当1<-
b |
2 |
b |
2 |
b2 |
4 |
③当-
b |
2 |
综上:当-2≤b≤2
2 |
当-4<b<-2时,φ(x)的最小值为-
b2 |
4 |
当b≤-4时,φ(x)的最小值为4+2b.
(3)因为V(x)=2f(x)-x2-kx=2lnx-x2-kx,V′(x)=
2 |
x |
假设V′(x0)=0,成立,且0<x1<x2,则由题意知,
|
①-②得2ln
x1 |
x2 |
x | 21 |
x | 22 |
所以k=
2ln
| ||
x1-x2 |
2 |
x0 |
ln
| ||
x1-x2 |
1 |
x0 |
即
ln
| ||
x1-x2 |
2 |
x1+x2 |
x1 |
x2 |
2×
| ||
|
令t=
x1 |
x2 |
2t-2 |
t+1 |
(t-1)2 |
(t+1)2 |
所以u(t)在(0,1)上为单调递增函数,所以u(t)<u(1)=0,
即lnt<
2t-2 |
t+1 |
x1 |
x2 |
2×
| ||
|
这与⑤式相矛盾,所以假设不成立,故V′(x0)≠0.
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx,g(x)=12ax2+bx(a≠0).(1)当a=-2时,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;(2)】;主要考察你对函数的零点存在定理等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
2a |
x |
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a=
1 |
2 |
f(x2)-f(x1) |
x2-x1 |
设函数f(x)=|2x-4|+1
(Ⅰ)画出函数y=f(x)的图象
(Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.
A.5 | B.4 | C.3 | D.2 |
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