题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

a

=(x2，2)，

b

=(x，1)
（1）若

a

∥

b

，求x；
（2）若函数f(x)=

a

•

b

对应的图象记为C
（I）求曲线C在A（1，3）处的切线方程？
（II）若直线l为曲线C的切线，并且直线l与曲线C有且仅有一个公共点，求所有这样直线l的方程？

答案

（1）∵

a

=(x2，2)，

b

=(x，1)，且

a

∥

b

∴x²•1=2•x，解之得x=0或2
（2）f(x)=

a

•

b

=x²•x+1×2=x³+2
（I）对f（x）求导数，得f"（x）=3x²，
∴曲线C：y=f（x）在A（1，3）处切线的斜率k=f"（1）=3
结合直线的点斜式方程，得切线方程是y-3=3（x-1），即y=3x．
（II）设切点坐标P（t，t³+2），得在点P处切线的斜率k=f"（t）=3t²．
∴曲线C在点P处的切线方程为y-（t³+2）=3t²（x-t），即y=3t²x-2t³+2
由

y=3t2x-2t3+2 y=x3+2

得3t²x-2t³+2=x³+2，即x³-3t²x+2t³=0
∴（x-t）²（x+2t）=0，
因为切线与曲线C有且仅有一条一个公共点，所以只有t=0时以上方程有相等的实数根，此时l方程为y=2
∴存在直线l为曲线C的切线，并且直线l与曲线C有且仅有一个公共点，此时切线方程为y=2．