题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+ax2-2x-2在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（2^x）=m有三个不同实数解，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=log₂[f（x）+p]的图象与坐标轴无交点，求实数p的取值范围．

答案

（1）∵函数f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+ax2-2x-2
∴f’（x）=-x³+2x²+2ax-2
依题意，f（x） 在区间[-1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
所以f（x）在x=1处有极值，即f’（1）=-1+2+2a-2=0，解出a=

1

2

，
（2）由（1）得f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+

1

2

x2-2x-2
f’（x）=-x³+2x²+x-2
令t=2^x，（t＞0）则t=2^x为增函数，每个x对应一个t，
而由题意：f（2^x）=m有三个不同的实数解，就是说，关于t的方程f（t）=m在t＞0时有三个不同的实数解．
∵f’（t）=-t³+2t²+t-2=-（t+1）（t-1）（t-2）
令f’（t）≥0以求f（t）的增区间，得-（t+1）（t-1）（t-2）≥0，保证t＞0，求得f（t）的增区间为1≤t≤2
令f’（t）≤0以求f（t）的减区间，得-（t+1）（t-1）（t-2）≤0，保证t＞0，求得f（t）的减区间为0＜t≤1或t≥2
所以f（t），
在t=1时有极小值，极小值为f（1）=-

37

12

，
在t=2时有极大值，极大值为f（2）=-

8

3

，
在t趋向于0时，f（t）趋向于-2．
∵-

37

12

＜-

8

3

＜-2
f（t）在t＞0上的图象为双峰形的一半，则要使f（t）=m有三个不同的实数解，须--

37

12

＜m＜-

8

3

（3）∵函数y=log₂[f（x）+p]的真数部分为f（x）+p，
∴f（x）+p＞0，
要使函数y=log2[f（x）+p]的图象与x轴无交点，只有f（x）+p≠1，
由（2）知，f（x）的最大值为f（-1）=-

5

12

，即f（x）≤-

5

12

所以f（x）+p≤p-

5

12

，要使f（x）+p≠1，只有p-

5

12

＜1，才能满足题
意，解之得，p＜

17

12