题目
题型:解答题难度:一般来源:天津
(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)当t≠0时,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)证明:对任意的t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
答案
f"(x)=12x2+6x-6,f"(0)=-6,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-6x.
(II)f"(x)=12x2+6tx-6t2,f"(0)=0,解得x=-t或x=
t |
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∵t≠0,以下分两种情况讨论:
(1)若t<0,则
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(2)若t>0,则
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(III)证明:由(II)可知,当t>0时,f(x)在(0,
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(1)当
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f(0)=t-1>0,f(1)=-6t2+4t+3≤-13<0
所以对于任意t∈[2,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
(2)当0<
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若t∈(0,1],f(
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f(1)=)=-6t2+4t+3≥-2t+3>0
所以f(x)在(
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若t∈(1,2),f(
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f(0)=t-1>0∴f(x)在(0,
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所以,对任意t∈(0,2),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
综上,对于任意t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
核心考点
试题【已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R.(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)当t≠0时】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,求b的取值范围.
A.y=x-3 | B.y=2x | C.y=x2 | D.y=lgx |
(1)证明:ea>a;
(2)当a>2e时,讨论函数f(x)在区间(1,ea)上零点的个数(e为自然对数的底数).
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