题目

题型：单选题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：
①c=0时，y=f（x）是奇函数；
②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；
③y=f（x）的图象关于（0，c）对称；
④方程f（x）=0至多有两个实根．
其中正确的命题个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

答案

①当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx，
∴函数f（-x）=-x|-x|+b-x=-（x|x|+bx）=-f（x）
∴函数y=f（x）为奇函数；
②b=0，c＞0时，因为函数在R上是增函数，且值域为（-∞，+∞）
∴方程f（x）=0只有一个实数根
③由①知函数y=x|x|+bx为奇函数，图象关于原点对称
y=f（x）的图象是由它的图象向上平移c个单位而得，
所以函数y=f（x）的图象关于（0，c）对称；
④当b=-1，c=0时，方程f（x）=0有三个实根：1，-1和0
因此④方程f（x）=0至多有两个实根错误
综合以上，说明①②③是正确的
故选C