题目
题型:解答题难度:一般来源:济宁一模
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(I)若函数g(x)在点(1,g(1))处的切线与直线2x-y+1=0垂直,求实数a的值;
(II)若f(x)在[-1,1]上是单调增函数,求实数a的取值范围;
(III)当a=0时,求整数k的所有值,使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解.
答案
∵在点(1,g(1))处的切线与直线2x-y+1=0垂直,
∴在点(1,g(1))处的切线斜率为-
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解得a=-
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(II)由(I)得,f(x)=g′(x)ex=(ax2+x)ex,
则f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=[ax2+(2a+1)x+1]ex,
∵f(x)在[-1,1]上是单调增函数,
∴f′(x)=[ax2+(2a+1)x+1]ex≥0在[-1,1]上恒成立,
即ax2+(2a+1)x+1≥0在[-1,1]上恒成立,
①当a=0时,f′(x)=(x+1)ex,f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,
当且仅当x=-1时取等号,故a=0符合要求;(6分)
②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,
因为△=(2a+1)2-4a=4a2+1>0,所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1>x2,
因此f(x)有极大值又有极小值.
若a>0,因为g(-1)•g(0)=-a<0,所以f(x)在(-1,1)内有极值点,故f(x)在[-1,1]上不单调.
若a<0,可知x1>0>x2,因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[-1,1]上单调,
因为g(0)=1>0,必须满足
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综上可知,a的取值范围是[-
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(III)当a=0时,方程即为xex=x+2,由于ex>0,所以x=0不是方程的解,
所以原方程等价于ex-
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x |
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x |
因为h′(x)=ex+
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x2 |
所以h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数,(13分)
又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,h(-3)=e-3-
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所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上,
所以整数k的所有值为{-3,1}.
核心考点
试题【已知函数g(x)=13ax3+12x2+b,f(x)=g′(x)ex,其中e为自然对数的底数(I)若函数g(x)在点(1,g(1))处的切线与直线2x-y+1=】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.(0,1] | B.[0,1) | C.(-∞,1) | D.(-∞,1] |
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f(x) |
x |
1 |
x |
A.1 | B.2 | C.0 | D.0或 2 |
(2)已知f(x)=ax+
x-2 |
x+1 |
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