已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数. (Ⅰ) 当a=-1时,求f(x)的最大值; (Ⅱ) 讨论f(x)在区间(0,e)上的单调情况; (Ⅲ)试推断方程|2x(x-lnx)|=2lnx+x是否有实数解.若有实数解,请求出它的解集. |
(Ⅰ) 当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=-1+=…(1分) 当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数…(3分) ∴f(x)max=f(1)=-1…(4分) (Ⅱ)∵f′(x)=a+,x∈(0,e),∈(,+∞)…(5分) ①若a≥-,则f′(x)>0,从而f(x)在(0,e)上增函数…(6分) ②若a<-,则由f′(x)>0⇒a+>0,即0<x<- 由f′(x)<0⇒a+<0,即-<x<e.…(7分) ∴f(x)在(0,-)上增函数,在(-,e)为减函数…(8分) 综合上面得:当a≥-时,f(x)在(0,e)上增函数;当a<-时,f(x)在(0,-)上增函数,在(-,e)为减函数. (Ⅲ)|2x(x-lnx)|=2lnx+x⇔|x-lnx|=+…(9分) 由(Ⅰ)知当a=-1时f(x)max=f(1)=-1,即-x+lnx≤-1 ∴|x-lnx|≥1…(10分) 又令g(x)=+,g′(x)=, 令g′(x)>0,得0<x<e;令g′(x)<0,得x>e ∴g(x)的增区间为(0,e),减区间为(e,+∞) ∴g(x)max=g(e)=+<1,∴g(x)<1…(12分) ∴|x-lnx|>g(x),即|x-lnx|>+…(13分) ∴方程|x-lnx|=+即方程|2x(x-lnx)|=2lnx+x没有实数解.…(14分) |
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数.(Ⅰ) 当a=-1时,求f(x)的最大值;(Ⅱ) 讨论f(x)在区间(0,e)上的单调情况;】;主要考察你对
函数的零点等知识点的理解。
[详细]
举一反三
设f(x)=3-x-ln,实数a,b,c满足f(a)f(b)f(c)<0,且0<a<b<c,若x0是函数的一个零点,下列不等式中不可能成立的 为( ) |
函数f(x)=2x+x+1的零点所在的区间是( )A.(-2,-1) | B.(-1,0) | C.(0,1) | D.(1,2) |
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直线x-my+2=0与抛物线y=x2有且只有一个公共点,则m=______. |
设函数f(x)=lnx-ax2-6x (I)当a=b=时,求函数f(x)的单调区间; (II)令F(x)=f(x)+ax2+bx+(0<x≤3),其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k≤恒成立,求实数a的取值范围; (III)当a=0,b=-1时,方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解,求实数m的取值范围. |
已知方程 x3+a= (1)当a=0时,求方程x3+a=的各个实根; (2)若方程x3+a=的各个根x1,x 2,…,xk(k≤4)所对应的点(xi,)(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,求实数a的取值范围. |