题目
题型:解答题难度:一般来源:0119 期中题
(1)求f(t)的值域G;
(2)若对于G内的所有实数x,不等式-x2+2mx-m2+2m≤1恒成立,求实数m的取值范围。
答案
解:(Ⅰ)∵f(t)=log2t在t∈[,8]上是单调递增的,
∴log2≤log2t≤log28,
即≤f(t)≤3,
∴f(t)的值域G为[,3]。
(Ⅱ)由题知-x2+2mx-m2+2m≤1在x∈[,3]上恒成立-2mx+m2-2m+1≥0在x∈[,3]上恒成立,
令g(x)=x2-2mx+m2-2m+1,x∈[,3],
只需gmin(x)≥0即可,
而g(x)=(x-m)2-2m+1,x∈[,3],
(1)当m≤时,gmin(x)=g()=-3m+m2+1≥0,
∴4m2-12m+5≥0,解得m≥或m≤,
∴m≤;
(2)当<m<3时,gmin(x)=g(m)=-2m+1≥0,解得m≤这与<m<3矛盾;
(3)当m≥3时,gmin(x)=g(3)=10+m2-8m≥0,解得m≥4+或m≤4-,
而m≥3,
∴m≥4+;
综上,实数m的取值范围是(-∞,)∪[4+,+∞]。
核心考点
试题【已知函数f(t)=log2t,t∈[,8], (1)求f(t)的值域G; (2)若对于G内的所有实数x,不等式-x2+2mx-m2+2m≤1恒成立,求实数m的取】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)当b=0时,若f(x)在[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(Ⅱ)求满足下列条件的所有实数对(a,b):当a是整数时,存在x0,使得f(x0)是f(x)的最大值,g(x0)是g(x)的最小值。
(1)若t=log2x,求t的取值范围;
(2)求f(x)的最值,并给出取最值时对应的x的值。
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