题目

题型：解答题难度：一般来源：北京期中题

已知函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1﹣x）=f（1+x），且函数g（x）=f（x）﹣x只有一个零点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域为[m，n]时，f（x）的取值范围是[3m，3n]．

答案

解：（Ⅰ）因为二次函数f（x）=ax²+bx满足条件f（1﹣x）=f（1+x），
所以函数f（x）图象的对称轴是直线x=1．
所以﹣=1，即b=﹣2a．
因为函数g（x）=f（x）﹣x只有一个零点，
即ax²﹣（2a+1）x=0有等根．
所以△=（2a+1）²=0．
即a=﹣，b=1．
所以f （x）=﹣x²+x．      
（Ⅱ）①当m＜n＜1时，f （x）在[m，n]上单调递增，f （m）=3m，f （n）=3n，
所以m，n是﹣x²+x=3x的两根．
解得m=﹣4，n=0；                    
②当m≤1≤n时，3n=，解得n=．不符合题意；  
③当1＜m＜n时，f （x）在[m，n]上单调递减，
所以f （m）=3n，f （n）=3m．
即﹣m²+m=3n，﹣n²+n=3m．
相减得﹣（m²﹣n²）+（m﹣n）=3（n﹣m）．
因为m≠n，
所以﹣（m+n）+1=﹣3．
所以m+n=8．
将n=8﹣m代入﹣m²+m=3n，
得﹣m²+m=3（8﹣m）．但此方程无解．
所以m=﹣4，n=0时，f （x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]．