题目

题型：解答题难度：一般来源：山东省月考题

二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．

答案

解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1．
因为f（x+1）﹣f（x）=2x，
所以a（x+1）²+b（x+1）+1﹣（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，
所以，∴，
所以f（x）=x²﹣x+1
（2）由题意得x²﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立．
即x²﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立．
设g（x）=x²﹣3x+1﹣m，其图象的对称轴为直线，
所以g（x）在[﹣1，1]上递减．
故只需g（1）＞0，即12﹣3×1+1﹣m＞0，
解得m＜﹣1．