题目
题型:解答题难度:一般来源:河南省期末题
(I)求f(x)的解析式;
(II)已知k的取值范围为[,+∞),则是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由.
答案
∴f(﹣x+1)=f(x+1),即a(﹣x+1)2+b(﹣x+1)=a(x+1)2+b(x+1)恒成立,
即(2a+b)x=0恒成立,
∴2a+b=0,∴b=﹣2a,
∴f(x)=ax2﹣2ax,
∵函数f(x)的图象与直线y=x相切,
∴二次方程ax2﹣(2a+1)x=0有两相等实数根,
∴△=(2a+1)2﹣4a×0=0,
∴a= ,即有f(x)=﹣ x2+x
(2)∵f(x)=﹣ (x﹣1)2+ ≤ ,
∴[km,kn](﹣∞, ],
∴kn≤ ,
又k≥ ,∴n≤ ≤ ,
又[m,n](﹣∞,1],f(x)在[m,n]上是单调增函数,
∴ 即
即m,n为方程﹣ x2+x=kx的两根,
解得x1=0,x2=2﹣2k.
∵m<n且k≥ .
故当 ≤k<1时,[m,n]=[0,2﹣2k];
当k>1时,[m,n]=[2﹣2k,0];
当k=1时,[m,n]不存在
核心考点
试题【已知二次函数f(x)=ax2+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图象与直线y=x相切.(I)求f(x)的解析式;(II)已知k的取值范围为[,+∞),则】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求f(x)的解析式;
(2)已知k的取值范围为[,+∞),则是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由.
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