题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)求证:直线与抛物线总有两个交点;
(2)设直线与抛物线的交点为Q、R,OQ⊥OR,求p关于m的函数f(m)的表达式;
(3)在(2)的条件下,若m变化,使得原点O到直线QR的距离不大于
| ||
2 |
答案
p |
4 |
∵直线x+y=m与x轴的交点为(m,0)在准线右边
∴m>-1-
p |
4 |
∴m>-1-
p |
4 |
由
|
得x2-(2m+p)x+(m2-p)=0.
而判别式△=(2m+p)2-4(m2-p)=p(4m+p+4).
又p>0及4m+p+4>0,可知△>0.
因此,直线与抛物线总有两个交点; …(4分)
(2)设Q、R两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
由(1)知,x1、x2是方程x2-(2m+p)x+m2-p=0的两根,
∴x1+x2=2m+p,x1•x2=m2-p.由OQ⊥OR,得kOQ•kOR=-1,
即有x1x2+y1y2=0.又Q、R为直线x+y=m上的点,
因而y1=-x1+m,y2=-x2+m.
于是x1x2+y1y2=2x1x2-m(x1+x2)+m2=2(m2-p)-m(2m+p)+m2=0,
∴p=f(m)=
m2 |
m+2 |
|
(3)解法一:由于原点O到直线x+y=m的距离不大于
| ||
2 |
|0+0-m| | ||
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| ||
2 |
∴|m|≤1.由(2),知m>-2且m≠0
故m∈[-1,0)∪(0,1].
由(2),知f(m)=
m2 |
m+2 |
4 |
m+2 |
当m∈[-1,0)时,任取m1、m2,0>m1>m2≥-1,则
f(m1)-f(m2)=(m1-m2)+(
4 |
m1+2 |
4 |
m2+2 |
=(m1-m2)[1-
4 |
(m1+2)(m2+2) |
由0>m1>m2≥-1,知0<(m1+2)(m2+2)<4,1-
4 |
(m1+2)(m2+2) |
又由m1-m2>0知f(m1)<f(m2)因而f(m)为减函数.
可见,当m∈[-1,0)时,p∈(0,1].
同样可证,当m∈(0,1]时,f(m)为增函数,从而p∈(0,
1 |
3 |
解法二:由解法一知,m∈[-1,0)∪(0,1].由(2)知
p=f(m)=
m2 |
m+2 |
1 | ||||
|
设t=
1 |
m |
又g(t)=2t2+t=2(t+
1 |
4 |
1 |
8 |
∴当t∈(-∞,-1]时,g(t)为减函数,g(t)∈[1,+∞).
当t∈[1,+∞)时,g(t)为增函数,g(t)∈[3,+∞).
因此,当m∈[-1,0]时,t∈(-∞,-1],p=
1 |
g(t) |
当m∈(0,1]时,t∈[1,+∞),p∈(0,
1 |
3 |
核心考点
试题【抛物线方程为y2=p(x+1)(p>0),直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边.(1)求证:直线与抛物线总有两个交点;(2)设直线与抛物线的交点为Q、】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
3 |
2 |
c |
3 |
( )
A.(-∞,2] | B.[
| C.[-2,3] | D.[
|
1 |
3 |
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