题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²+ax+b，f（x）为偶函数，且y=f（x）过点（2，5）．
（1）求f（x）解析式；
（2）求f（x）在[-2，1）的最大值和最小值；
（3）求证：f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

．

答案

（1）由f（x）=x²+ax+b为偶函数，知f（-x）=f（x）．
即：（-x）²+a（-x）+b=x²+ax+b．
∴a=-a，解得a=0．
又y=f（x）过点（2，5），得4+b=5，b=1．
∴f（x）=x²+1．…（4分）
（2）由（1），当x=-2时，f（x）_max=5，当x=0时，f（x）_min=1．…（8分）
（3）证明：

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

x12+1+x22+1

2

-(

x1+x2

2

)2-1．
=

x12+x22

2

-

(x1+x2)2

4

=

(x1-x2)2

4

≥0．
∴f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

．…（12分）