题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）是二次函数，对任意x∈R都满足f（x+1）-f（x）=-2x+1，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-2，1]时，y=f（x）的图象恒在y=-x+m的图象上方，求实数m的取值范围．

答案

（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），∵f（0）=1，可得 c=1．
又f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=-2x+1，∴a=-1，b=2，所以f（x）=-x²+2x+1．
（2）由题意-x²+2x+1≥-x+m在x∈[-2，1]上恒成立，即m≤-x²+3x+1在x∈[-2，1]上恒成立．
令g（x）=-x²+3x+1易知g（x）在x∈[-2，1]上为增函数，则g（x）_min=g（-2）=-9，所以m≤-9，
即实数m的取值范围为（-∞，-9]．