题目

题型：解答题难度：困难来源：期末题

已知函数f（x）=|x|·（x﹣a）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）设函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为m（a），求m（a）的表达式；
（3）若a=4，证明：方程f（x）+=0有两个不同的正数解．

答案

解：（1）∵f（x）=|x|（x﹣a）．
∴a=0时，f（x）=|x|x是奇函数；
a≠0时，f（x）=|x|（x﹣a）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）当x∈[0，2]时，f（x）=x²﹣ax=（x﹣ ）2﹣ ，
函数f（x）图象的对称轴为直线x= ．
当 ，即a＜0时，函数f（x）在[0，2]上是增函数，
所以m（a）=f（0）=0；
当0 ，即0≤a≤4时，函数f（x）在[0， ]上是减函数，在[ ，2]上是增函数，
所以m（a）=f（ ）=﹣ ；
当 ，即a＞4时，函数f（x）在[0，2]上是减函数，
所以m（a）=f（2）=4﹣2a．
综上，m（a）= ．
（3）证明：若a=4，则x＞0时，f（x）= ，
方程可化为 ，即 ．
令 ，h（x）=﹣x²+4x，
在同一直角坐标系中作出函数g（x），h（x）在x＞0时的图象．
因为g（2）=2，h（2）=4，
所以h（2）＞g（2），
即当x=2时，函数h（x）图象上的点在函数g（x）图象点的上方．
所以函数g（x）与h（x）的图象在第一象限有两个不同交点．
即方程f（x）+ =0有两个不同的正数解．