题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）当a≥-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．

答案

（1）∵函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，
即h（x）=|f（x）|-g（x）=|x²-1|-a|x-1|只有一个零点，
显然x=1是函数的零点，
∴即|x-1|-a=0无实数根，
∴a＜0；
（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x²-1|+a|x-1|
=

x2+ax-a-1，1≤x≤2 -x2-ax+a+1，-1＜x＜1 x2-ax+a-1，-2≤x≤-1

，
当1＜x≤2时，∵a≥-3，
∴-

a

2

≤

3

2

，
当x=2时，h（x）的最大值为h（2）=a+3；
当-2≤x＜-1时，

a

2

≥-

3

2

，
当x=-2时，h（x）的最大值为h（-2）=3a+3；
当-1≤x≤1时，h（x）的最大值为max{h（-1），h（1），h（-

a

2

）}=max{0，

1

4

a2+a+1，2a}=

1

4

a2+a+1，
∴函数h（x）最大值为h（a）=

a+3         -3≤a≤0 3a+3        0＜a≤4+2 6 1 4 a2+a+1，a＞4+2 6

．