题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知一元二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为（c，0），且当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）当a=1，c=

1

2

时，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
（4）若不等式m²-2km+1+b+ac≥0对所有k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（本小题满分（14分），（1）（2）小题每题（3分），（3）（4）小题每题4分）
（1）当a=1，c=

1

2

时，f(x)=x2+bx+

1

2

，
f（x）的图象与x轴有两个不同交点，
∵f(

1

2

)=0，设另一个根为x₂，则

1

2

x2=

1

2

，∴x₂=1，
则 f（x）＜0的解集为 (

1

2

，1)．…（3分）
（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，
∵f（c）=0，设另一个根为x₂，则cx2=

c

a

∴x2=

1

a

，
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

1

a

＞c，
∴f（x）＜0的解集为(c，

1

a

)…（6分）
（3）由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为(c，0)，(

1

a

，0)，(0，c)
这三交点为顶点的三角形的面积为S=

1

2

(

1

a

-c)c=8，…（8分）
∴a=

c

16+c2

≤

c

2 16 c

=

1

8

故a∈(0，  

1

8

]．…（10分）
（4）∵f（c）=0，∴ac²+bc+c=0，
又∵c＞0，∴ac+b+1=0，…（11分）
要使m²-2km≥0，对所有k∈[-1，1]恒成立，则
当m＞0时，m≥（2k）_max=2           
当m＜0时，m≤（2k）_min=-2
当m=0时，0²≥2k•0，对所有k∈[-1，1]恒成立
从而实数m的取值范围为  m≤-2或m=0或m≥2．…（14分）