题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
（3）若直线x=-t（0＜t＜1把y=f（x））的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．

答案

（1）∵f′（x）=2x+2   设f（x）=x²+2x+c，
根据f（x）=0有两等根，得△=4-4c=0解得c=1，即f（x）=x²+2x+1；
（2）S=

∫

0-1

(x2+2x+1)dx=(

1

3

x3+x2+x)

|

0-1

=

1

3

．
（3）由题意可得

∫

-t-1

(x2+2x+1)dx=

∫

0-t

(x2+2x+1)dx
即 (

1

3

x3+x2+x)

|

-t-1

=(

1

3

x3+x2+x)

|

0-t

．
即-

1

3

t3+t2-t+

1

3

=

1

3

t3-t2+t，∴2t³-6t²+6t-1=0，
即2（t-1）³=-1，∴t=1-

1

3 2

．