题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数g(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2-bx(a，b∈R)，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．
（1）若方程f（x）=0有两个实根分别为-2和4，求f（x）的表达式；
（2）若g（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值．

答案

（1）根据导数的几何意义知f（x）=g"（x）=x²+ax-b
由已知-2、4是方程x²+ax-b=0的两个实数
由韦达定理，

-2+4=-a -2×4=-b

∴

a=-2 b=8

，f（x）=x²-2x-8（7分）
（2）g（x）在区间[-1，3]上是单调减函数，
所以在[-1，3]区间上恒有f（x）=g"（x）=x²+ax-b≤0，即f（x）=x²+ax-b≤0在[-1，3]恒成立
这只需满足

f(-1)≤0 f(3)≤0

即可，也即

a+b≥1 b-3a≥9

而a²+b²可视为平面区域

a+b≥1 b-3a≥9

内的点到原点距离的平方，其中点（-2，3）距离原点最近，
所以当

a=-2 b=3

时，a²+b²有最小值13．（14分）