题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=3ax²+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，
（1）证明：a＞0且-2＜

b

a

＜-1；
（2）证明：函数f（x）在（0，1）内有两个零点．

答案

证明：（1）∵f（0）＞0，∴c＞0，
又∵f（1）＞0，即3a+2b+c＞0．①
而a+b+c=0即b=-a-c代入①式，
∴3a-2a-2c+c＞0，即a-c＞0，∴a＞c．
∴a＞c＞0．又∵a+b=-c＜0，∴a+b＜0．
∴1+

b

a

＜0，∴

b

a

＜-1．
又c=-a-b，代入①式得，
3a+2b-a-b＞0，∴2a+b＞0，
∴2+

b

a

＞0，∴

b

a

＞-2．故-2＜

b

a

＜-1．
（2）由（1）中-2＜

b

a

＜-1，
∴

1

3

＜

b

-3a

＜

2

3

即函数f（x）=3ax²+2bx+c图象的对称轴x=

b

-3a

在区间（0，1）上
又∵f（

b

-3a

）=

12ac-4b2

12a

＜0
故函数f（x）在（0，

b

-3a

），（

b

-3a

，1）内各有一个零点
故函数f（x）在（0，1）内有两个零点