题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²+2ax+2．
①若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），求函数在x∈[-5，5]的最大值和最小值；
②若函数f（x）有两个正的零点，求a的取值范围；
③求f（x）在x∈[-5，5]的最小值．

答案

（1）由f（x+1）=f（1-x）得（x+1）²+2a（x+1）+2=（1-x）²+2a（1-x）+2
即4（1+a）x=0对任意x∈R恒成立
∴a=-1
∴f（x）=x²-2x+2，x∈[-5，5]，
∵f（x）=（x-1）²+1，
∴f（x）在[-5，1]上单调递减，在[1，5]上单调递增
∴f（x）_max=f（-5）=37，
∴f（x）_min=f（1）=1
（2）设方程x²+2ax+2=0的两根为x₁，x₂，则

△=4a2-8≥0 x1+x2=-2a＞0 x1x2=2＞0

解得：a≤-

2

（3）对称轴方程为x=-a
当-a＜-5，即a＞5时，f（x）在[-5，5]上单调递增，∴f（x）_min=f（-5）=27-10a；
当-5≤-a≤5，即-5≤a≤5时，f（x）在[-5，-a]上单调递减，在[-a，5]上单调递增
∴f(x)min=f(-a)=2-a2；
当-a＞5，即a＜-5时，f（x）在[-5，5]上单调递减
∴f（x）_min=f（5）=27+10a
综上：f(x)min=

27+10a，a＜-5 2-a2，-5≤a≤5 27-10a，a＞5