设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x+2π）=f（x），求证：存在4个函数fi（x）（i=1，2，3，4）满足：
（1）对i=1，2，3，4，fi（x）是偶函数，且对任意的实数x，有fi（x+π）=fi（x）；
（2）对任意的实数x，有f（x）=f1（x）+f2（x）cosx+f3（x）sinx+f4（x）sin2x． |
证明：记g(x)=，h(x)=，则f（x）=g（x）+h（x），且g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，对任意的x∈R，g（x+2π）=g（x），h（x+2π）=h（x）．
令f1(x)=，f2(x)=，f3(x)=，f4(x)=，其中k为任意整数．
则fi（x），i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，fi（x+π）=fi（x），i=1，2，3，4．
下证对任意的x∈R，有f1（x）+f2（x）cosx=g（x）．
当x≠kπ+（k∈Z）时，显然成立；
当x=kπ+（k∈Z）时，因为f1(x)+f2(x)cosx=f1(x)=，
而g(x+π)=g(kπ+)=g(kπ+-2(k+1)π)=g(-kπ-)=g(kπ+)=g(x)，故对任意的x∈R，f1（x）+f2（x）cosx=g（x）．
下证对任意的x∈R，有f3（x）sinx+f4（x）sin2x=h（x）．
当x≠（k∈Z）时，显然成立；
当x=kπ（k∈Z）时，h（x）=h（kπ）=h（kπ-2kπ）=h（-kπ）=-h（kπ），所以h（x）=h（kπ）=0，而此时f3（x）sinx+f4（x）sin2x=0，故h（x）=f3（x）sinx+f4（x）sin2x；
当x=kπ+（k∈Z）时，h(x+π)=h(kπ+)=h(kπ+-2(k+1)π)=h(-kπ-)=-h(kπ+)=-h(x)，
故f3(x)sinx==h(x)，
又f4（x）sin2x=0，从而有h（x）=f3（x）sinx+f4（x）sin2x．
于是，对任意的x∈R，有f3（x）sinx+f4（x）sin2x=h（x）．
综上所述，结论得证． |
核心考点
试题【设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x+2π）=f（x），求证：存在4个函数fi（x）（i=1，2，3，4）满足：（1）对i=1，2，3，4，fi（x）是偶函】；主要考察你对
函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。
[详细]举一反三
| 若函数g（x）=x2+|x-m|为偶函数，则实数m=______． |
出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h(x)=x-a，已知g（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）确定函数h（x）的单调性；
（Ⅱ）求证：当1＜x＜e2时，恒有x＜成立；
（Ⅲ）把函数h（x）的图象向上平移6个单位得到函数h1（x）的图象，试确定函数y=g（x）-h1（x）的零点个数，并说明理由． |
设f(x)=loga为奇函数，g(x)=f(x)+loga（a＞1且m≠1）
（1）求m的值及g（x）的定义域；
（2）若g（x）在(-，-)上恒为正，求a的取值范围． |
| 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上满足f′（x）＞0则不等式f（2x-1）＜f（）的解集是（ ） |
已知f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N+，则f2013（x）=（ ）| A．sinx+cosx | B．sinx-cosx | C．-sinx+cosx | D．-sinx-cosx |
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