题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
x |
(Ⅰ)确定函数h(x)的单调性;
(Ⅱ)求证:当1<x<e2时,恒有x<
2+f(x) |
2-f(x) |
(Ⅲ)把函数h(x)的图象向上平移6个单位得到函数h1(x)的图象,试确定函数y=g(x)-h1(x)的零点个数,并说明理由.
答案
则g′(x)=2x-
a |
x |
由已知,g"(1)=0,
即2-a=0⇒a=2.(2分)
于是h(x)=x-2
x |
则h′(x)=1-
1 | ||
|
由h′(x)=1-
1 | ||
|
所以h(x)在(1,+∞)上是增函数,在(0,1)上是减函数.(4分)
证明:(Ⅱ)当1<x<e2时,0<lnx<2,
即0<f(x)<2.(5分)
欲证x<
2+f(x) |
2-f(x) |
只需证x[2-f(x)]<2+f(x),
即证f(x)>
2(x-1) |
x+1 |
设φ(x)=f(x)-
2(x-1) |
x+1 |
2(x-1) |
x+1 |
则φ′(x)=
1 |
x |
2(x+1)-2(x-1) |
(x+1)2 |
(x-1)2 |
x(x+1)2 |
当1<x<e2时,φ"(x)>0,
所以φ(x)在区间(1,e2)上为增函数.(7分)
从而当1<x<e2时,φ(x)>φ(1)=0,
即lnx>
2(x-1) |
x+1 |
故x<
2+f(x) |
2-f(x) |
(Ⅲ)由题设,h1(x)=x-2
x |
令g(x)-h1(x)=0,
则x2-2lnx-(x-2
x |
即2
x |
设h2(x)=2
x |
h3(x)=-x2+x+6(x>0),
则h2′(x)=
1 | ||
|
2 |
x |
| ||
x |
由
x |
所以h2(x)在(4,+∞)上是增函数,
在(0,4)上是减函数.(10分)
又h3(x)在(0,
1 |
2 |
在(
1 |
2 |
因为当x→0时,h2(x)→+∞,h3(x)→6.
又h2(1)=2,h3(1)=6,h2(4)=4-2ln4>0,h3(4)=-6,
则函数h2(x)与h3(x)的大致图象如下:(12分)
由图可知,当x>0时,两个函数图象有2个交点,
故函数y=g(x)-h1(x)有2个零点.(13分)
核心考点
试题【出定义在(0,+∞)上的三个函数:f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x),h(x)=x-ax,已知g(x)在x=1处取极值.(Ⅰ)确定函数h(x)的单调性】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
1-mx |
x-1 |
|
(1)求m的值及g(x)的定义域;
(2)若g(x)在(-
5 |
2 |
3 |
2 |
1 |
3 |
A.(
| B.[
| C.(
| D.[
|
A.sinx+cosx | B.sinx-cosx | C.-sinx+cosx | D.-sinx-cosx |
A.f(3)<f(-2)<f(1) | B.f(1)<f(-2)<f(3) | C.f(-2)<f(1)<f(3) | D.f(3)<f(1)<f(-2) |
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