题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知

m

=(asinx，cosx)，

n

=(sinx，bsinx)，其中a，b，x∈R．若f(x)=

m

•

n

满足f(

π

6

)=2，且f（x）的导函数f"（x）的图象关于直线x=

π

12

对称．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间[0，

π

2

]上总有实数解，求实数k的取值范围．

答案

（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=asin2x+bsinxcosx=

a

2

(1-cos2x)+

b

2

sin2x
由f(

π

6

)=2得，a+

3

b=8①
∵f"（x）=asin2x+bcos2x，又∵f"（x）的图象关于直线x=

π

12

对称，∴f′(0)=f′(

π

6

)，
∴b=

3

2

a+

1

2

b，即b=

3

a②
由①、②得，a=2，b=2

3

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1-cos2x+

3

sin2x=2sin(2x-

π

6

)+1
∵x∈[0，

π

2

]，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-1≤2sin(2x-

π

6

)≤2，f（x）∈[0，3]．
又∵f（x）+log₂k=0有解，即f（x）=-log₂k有解，
∴-3≤log₂k≤0，解得

1

8

≤k≤1，即k∈[

1

8

，1]．