题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在R上是增函数;
(3)若关于x的不等式f(x2-4)+f(kx+2k)<0在x∈(0,1)上恒成立,求k的取值范围.
答案
∴f(-x)=-f(x)即-ax3+bx2-cx=-ax3-bx2-cx
∴2bx2=0对于任意x都成立
即b=0
∵f(1)=2,f(2)=10 ∴
|
∴函数的解析式是f(x)=x3+x 5分
(2)证明:设x1,x2是R上的任意两个不相等的实数,且x1<x2,
则△y=f(x2)-f(x1)=x23+x2-x13-x1=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)+(x2-x1)
=(x2-x1)(
x | 22 |
x | 1 |
x | 21 |
| ||
2 |
3
| ||
4 |
∵x2-x1>0,(x2+
| ||
2 |
3
| ||
4 |
∴函数f(x)在R上是增函数 (10分)
(3)∵f(x2-4)+f(kx+2k)<0
∴f(x2-4)<-f(kx+2k)=f(-kx-2k)
又因为f(x)是增函数,即x2-4<-kx-2k
∴x2+kx+2k-4<0在(0,1)上恒成立.(12分)
法(一)令g(x)=x2+kx+2k-4,x∈(0,1)
则
|
∴k的取值范围是(-∞,1]14分
法(二)上式可化为k(x+2)<4-x2
∵x∈(0,1)即x+2>0∴k<
4-x2 |
x+2 |
令U(x)=2-x,x∈(0,1)
∵U(x)=2-x在(0,1)上是减函数
∴U(x)<1即k≤1.(14分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax3+bx2+cx是R上的奇函数,且f(1)=2,f(2)=10,(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在R上是增函数;(】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
2 |
2x+1 |
(1)求a的值;(2)求证f(x)是R上的增函数;(3)求证xf(x)≥0恒成立.
(Ⅰ)求证:m2+n2=0是f(x)是奇函数的充要条件;
(Ⅱ)若常数n=-4且f(x)<0对任意x∈[0,1]恒成立,求m的取值范围.
3x-1 |
3x+1 |
(1)判断该函数的奇偶性;
(2)证明函数在定义域上是增函数.
①g(x)=f(x)+f(-x);
②h(x)=f(x)-f(-x);
③y=
1-x2 |
x4 |
④F(x)=p(x)q(x),其中p(x)、q(x)均是奇函数.
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