题目

题型：同步题难度：来源：

如图，已知A（1，0）、B（，）为直角坐标系内的两点，点C在x轴的负半轴上，且OC=2OA，以A为圆心，OA为半径作圆A，直线CD切圆A于D点，连接OD．
（1）求点D的坐标； 　　
（2）求经过O、B、D三点的抛物线的解析式； 　
（3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使△DCP∽△OCD？若存在，求出P点坐标？若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）连结AD作DE⊥OA于E 　　∴　A（1，0），OC=2OA，　
  　∴　AC=3，∠CDA=90°，sin∠ACD= 　　∴　sin∠ADE= ，　
  　∴　AE=，OE=，　　∴　DE==，
    ∴　D（，） 　　
（2）设抛物线y=ax²+bx+c过O（0，0），B（，），D（，），
    则c=0，　　
    ∴　 解得　
  　∴　所求抛物线为y=-x²+x 　　
（3）设⊙A与x轴的另一个交点为F（2，0）连结DF 　
   　∵　CD切⊙A于D，∠CDO=∠CFD，∠DCO=∠FCD，　
   　∴　△OCD∽△DCF 　　把x=2代入y=-x²+x得y=0 　
  　∴　F（2，0）在抛物线上，故F为所求点P 　
  　∴　抛物线上存在点P（2，0）使△CDP∽△OCD