题目

题型：解答题难度：一般来源：天津

已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2．
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）证明对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

答案

（1）由奇函数的定义，应有f（-x）=-f（x），x∈R
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d∴d=0
因此，f（x）=ax³+cxf"（x）=3ax²+c
由条件f（1）=-2为f（x）的极值，必有f"（1）=0，故

a+c=-2 3a+c=0

解得a=1，c=-3
因此，f（x）=x³-3x，f"（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）f"（-1）=f"（1）=0
当x∈（-∞，-1）时，f"（x）＞0，故f（x）在单调区间（-∞，-1）上是增函数
当x∈（-1，1）时，f"（x）＜0，故f（x）在单调区间（-1，1）上是减函数
当x∈（1，+∞）时，f"（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，+∞）上是增函数
所以，f（x）在x=-1处取得极大值，极大值为f（-1）=2
（2）由（1）知，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是减函数，
且f（x）在[-1，1]上的最大值M=f（-1）=2，f（x）在[-1，1]上的最小值m=f（1）=-2
所以，对任意的x₁，x₂∈（-1，1），恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=2-（-2）=4