题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=2sin2(

π

4

+ωx)-

3

cos2ωx-1(ω＞0)的最小正周期为

2π

3

（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

6

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（Ⅰ） f(x)=2sin2(

π

4

+ωx)-

3

cos2ωx-1=
-cos(

π

2

+2ωx)-

3

cos2ωx
=sin2ωx-

3

cos2ωx=2sin(2ωx-

π

3

)(ω＞0)2分
f（x） 的最小正周期为

2π

3

，∴

2π

2ω

=

2π

3

，∴ω=

3

2

…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=2sin(3x-

π

3

)，5分
当 x∈[

π

6

，

π

2

] 时，有3x-

π

3

∈[

π

6

，

7π

6

]，则f(x)∈[-1，2]…7分
∴若不等式|f（x）-m|＜2 在x∈[

π

6

，

π

2

] 上恒成立，
则有-2＜f（x）-m＜2，即f（x）-2＜m＜f（x）+2
在x∈[

π

6

，

π

2

] 上恒成立，…9分
∴（f（x）-2）_max＜m＜（f（x）+2）_min，
f（x）_max-2＜m＜f（x）_min+2…11分
∴0＜m＜1…12分