题目
题型:解答题难度:一般来源:浙江模拟
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(1)函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与g(x)的图象相切,求实数b的值;
(2)设h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)在定义域上存在单调减区间,求实数b 的取值范围;
(3)若b>1,对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立,求b的取值范围.
答案
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x |
函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=1,切线方程为:y-0=x-1即y=x-1.
由已知得它与g(x)的图象相切,将y=x-1代入得x-1=
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∴△=(b+1)2-2=0,解得b=±
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即实数b的值为±
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(2)h(x)=f(x)+g(x)=lnx+
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∴h′(x)=
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x |
根据函数h(x)在定义域(0,+∞)上存在单调减区间,
∴存在x>0,使得
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x |
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x |
由于当x>0时,
1 |
x |
∴b>2.
∴实数b 的取值范围(2,+∞).
(3)对于区间[1,2]上的任意实数x,f′(x)=
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x |
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g′(x)=x-b∈[1-b,2-b],
要使得对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立,
若用注意到f(x)是增函数,不妨设x1>x2,则f(x1)>f(x2),问题转化为|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|
等价于-f(x1)+f(x2)<g(x1)-g(x2)<f(x1)-f(x2)从而f(x1)-g(x1)>f(x2)-g(x2)且f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2),
即f(x)-g(x)与f(x)+g(x)都是增函数,
利用导数的几何是切线的斜率,得到|f′(x)|>|g′(x)|,
即
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x |
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x |
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x |
1 |
x |
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x |
∴
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则b的取值范围[
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核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2-bx(b为常数).(1)函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与g(x)的图象相切,求实数b的值;(2)设】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
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x |
1 |
y |
A.(-∞,-2]∪[4,+∞) | B.(-∞,-4]∪[2,+∞) | C.(-2,4) | D.(-4,2) |
A.(1,3) | B.(-∞,-3)∪(3,+∞) | C.(-3,3) | D.(-3,1) |
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