题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，当x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）时f（x）＞0，当x∈（-2，0）时，f（x）＜0且对任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立．（1）求函数f（x）的解析式；（2）f（x）＞m恒成立，求m的取值范围．

答案

（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx+c，当x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）时f（x）＞0，当x∈（-2，0）时，f（x）＜0
∴ax²+bx+c=0的两个根为-2和0
将-2和0代入方程ax²+bx+c=0可得c=0，b=2a
∵对任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立
∴ax²+2ax≥（a-1）x-1恒成立
即ax²+（a+1）x+1≥0恒成立
∴

a＞0 △=(a+1)2-4a≤0

解得a=1，b=2
∴f（x）=x²+2x
（2）∵f（x）＞m恒成立，
∴f（x）_min=-1＞m
即m的取值范围（-∞，-1）