题目
题型:解答题难度:一般来源:黄冈模拟
1-x2 |
1+x+x2 |
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)若(et+2)x2+etx+et-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立,求实数t的取值范围(这里e是自然对数的底数);
(Ⅲ)求证:对任意正数a、b、λ、μ,恒有f[(
λa+μb |
λ+μ |
λa2+μb2 |
λ+μ |
λa+μb |
λ+μ |
λa2+μb2 |
λ+μ |
答案
-2x(1+x+x2)-(2x+1)(1-x2) |
(1+x+x2)2 |
-[x-(-2+
| ||||
(1+x+x2)2 |
∴f(x)的增区间为(-2-
3 |
3 |
3 |
3 |
极大值为f(-2+
3 |
2
| ||
3 |
3 |
2
| ||
3 |
(Ⅱ)原不等式可化为et≥
2(1-x2) |
1+x+x2 |
2
| ||
3 |
∴
2(1-x2) |
1+x+x2 |
4
| ||
3 |
4
| ||
3 |
4
| ||
3 |
(Ⅲ)设g(x)=f(x)-x=
1-x2 |
1+x+x2 |
则g′(x)=f′(x)-1=
-(x2+4x+1) |
(1+x+x2)2 |
x4+2x3+4x2+6x+2 |
(1+x+x2)2 |
∴当x>0时,g"(x)<0,故g(x)在(0,+∞)上是减函数,
又当a、b、λ、μ是正实数时,(
λa+μb |
λ+μ |
λa2+μb2 |
λ+μ |
λμ(a-b)2 |
(λ+μ)2 |
∴(
λa+μb |
λ+μ |
λa2+μb2 |
λ+μ |
由g(x)的单调性有:f[(
λa+μb |
λ+μ |
λa+μb |
λ+μ |
λa2+μb2 |
λ+μ |
λa2+μb2 |
λ+μ |
即f[(
λa+μb |
λ+μ |
λa2+μb2 |
λ+μ |
λa+μb |
λ+μ |
λa2+μb2 |
λ+μ |
核心考点
试题【已知函数f(x)=1-x21+x+x2(x∈R).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)若(et+2)x2+etx+et-2≥0对满足|x|≤1的任意实数】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
-g(x)+n |
2g(x)+m |
(1)确定y=g(x)的解析式;
(2)求m,n的值;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
A.2 | B.3 | C.7 | D.5 |
1-mx |
x-1 |
(1)求m的值;
(2)当a>1,x∈(r,a-2)时f(x)的值域是(1,+∞),求实数a与r的值.
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