题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=log_a

x+1

x-1

，（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数的定义域，并证明：f（x）=log_a

x+1

x-1

在定义域上是奇函数；
（2）对于x∈[2，4]，f（x）=log_a

x+1

x-1

＞log_a

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，求m的取值范围．

答案

解　（1）由

x+1

x-1

＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f（-x）=log_a

-x+1

-x-1

=log_a

x-1

x+1

=-log_a

x+1

x-1

=-f（x），
∴f（x）=log_a

x+1

x-1

在定义域上是奇函数．
（2）由x∈[2，4]时，f（x）=log_a

x+1

x-1

＞log_a

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，
①当a＞1时，
∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

对x∈[2，4]恒成立．
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立．
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
则g（x）=-x³+7x²+x-7，
g′（x）=-3x²+14x+1，
∴当x∈[2，4]时，g′（x）＞0．
∴y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）_min=g（2）=15．
∴0＜m＜15．
②当0＜a＜1时，由x∈[2，4]时，
f（x）=log_a

x+1

x-1

＞log_a

m

(x-1)2(7-x)

恒成立
∴

x+1

x-1

＜log_a

m

(x-1)2(7-x)

对x∈[2，4]恒成立．
∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立．
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，
由①可知y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，
g（x）_max=g（4）=45，∴m＞45．
∴m的取值范围是（0，15）∪（45，+∞）．