设函数y=f（x）（x∈R）对任意实数均满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证f（x）是奇函数． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数y=f（x）（x∈R）对任意实数均满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证f（x）是奇函数．

答案

证明：定义域关于原点对称，
令x=y=0，代入f（xy）=f（x）+f（y）得 f（0）=0，
令y=-x得：f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．

核心考点

试题【设函数y=f（x）（x∈R）对任意实数均满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证f（x）是奇函数．】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

若不等式（a²-3a+2） x²+（a-1）x+2＞0恒成立，则a的取值范围______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

给出下列四个命题：
①当x＞0且x≠1时，有lnx+

lnx

≥2；
②圆x²+y²-10x+4y-5=0上任意一点M关于直线ax-y-5a-2=0对称的点M"都在该圆上；
③若函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则y=f（x）为偶函数；
④若sinx+cosx=-

，则tanx+cotx的值为2；
其中正确命题的序号为 ______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x)=lg

1-x

1+x

．
（1）求函数f（x）的定义域D；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）若a、b∈D，求证：f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

下列函数中既是偶函数，又是区间[-1，0]上的减函数的是（　　）

A．y=e^x+e^-x

B．y=-|x-1|

C．y=ln

2-x

2+x

D．y=cosx

题型：单选题难度：一般| 查看答案

若函数f（x）和g（x）都为奇函数，函数F（x）=af（x）+bg（x）+3在（0，+∞）上有最大值10，则F（x）在（-∞，0）上有最 ______值 ______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

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