题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=x+

m

x

，且此函数图象过点（1，5）．
（1）求实数m的值并判断f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，2）上的单调性，并用定义证明你的结论．
（3）解关于实数x的不等式f(

2-2x

)＜5．

答案

（1）把（1，5）代入函数f（x）得f（1）=1+m=5，解得m=4
∴f(x)=x+

4

x

∵f(-x)=-x+

4

-x

=-f（x）
∴f（x）是奇函数；
（2）函数在（0，2）上单调减，证明如下：
取0＜x₁＜x₂＜2，则f（x₂）-f（x₁）=（x₂+

4

x2

）-（x₁+

4

x1

）=（x₂-x₁）+4（

1

x2

-

1

x1

）=（x₂-x₁）（1-

4

x1x2

）
因为0＜x₁＜x₂＜2，所以x₁x₂＜4，∴1-

4

x1x2

＜0，x₂-x₁＞0，所以f（x₂）-f（x₁）＜0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数在（0，2）上单调减
（3）不等式f(

2-2x

)＜5，等价于f(

2-2x

)＜f（1），由（2）知

2-2x

＞1
∴2-2^x＞1
∴2^x＜1
∴x＜0
∴不等式的解集为（-∞，0）