题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a≠0）对于任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x），且函数y=f（x）+2x为偶函数；函数g（x）=1-2^x．
（I） 求函数f（x）的表达式；
（II） 求证：方程f（x）+g（x）=0在区间[0，1]上有唯一实数根；
（III） 若有f（m）=g（n），求实数n的取值范围．

答案

（I）∵对于任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x），
∴函数f（x）的对称轴为x=1，得b=-2a．
又函数y=f（x）+2x=ax²+（b+2）x+1为偶函数，∴b=-2，从而可得a=1．
∴f（x）=x²-2x+1=（x-1）²．
（II）证明：设h（x）=f（x）+g（x）=（x-1）²+1-2^x，
∵h（0）=2-2⁰=1＞0，h（1）=-1＜0，∴h（0）h（1）＜0．
所以函数h（x）在区间[0，1]内必有零点，
又∵（x-1）²，-2^x在区间[0，1]上均单调递减，
所以h（x）在区间[0，1]上单调递减，
∴h（x）在区间[0，1]上存在唯一零点．
故方程f（x）+g（x）=0在区间[0，1]上有唯一实数根．
（III）由题可知∴f（x）=（x-1）²≥0．g（x）=1-2^x＜1，
若有f（m）=g（n），则g（n）∈[0，1），
则1-2ⁿ≥0，解得 n≤0．
故n的取值范围是n≤0．