题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=lnx+b•x²的图象过点（1，0）
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f(x)≥

t

x

-1nx(t为实数）恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）当m＞0时，讨论F(x)=f(x)+

x2

2

-

m2+1

m

x在区间（0，2）上极值点的个数．

答案

（I）∵函数f（x）=1nx+b•x²的图象过点（1，0），
∴0=ln1+b•1²，解得b=0，∴f（x）的解析式为f（x）=1nx；
（Ⅱ）f(x)≥

t

x

-1nx恒成立，即lnx≥

t

x

-1nx，由x＞0可得t≤2xlnx，
构造函数h（x）=2xlnx，x＞0，只需t≤h_min（x）即可，
可得h′（x）=2（lnx-1），故当x∈（0，

1

e

）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
当x∈（

1

e

，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，
故h_min（x）=h（

1

e

）=-

2

e

，故t≤-

2

e

；
（Ⅲ）由（I）知，f（x）=1nx，F(x)=lnx+

x2

2

-

m2+1

m

x，（x＞0）
∴F′(x)=

1

x

+x-

m2+1

m

=

(x-m)(x- 1 m )

x

，令其为0可得x=m，或x=

1

m

，
（1）当m=

1

m

时，m=1，F′（x）＞0，函数在（0，2）为增函数，无极值点；
（2）当

0＜m＜2 0＜ 1 m ＜2

，且m＜

1

m

，即

1

2

＜m＜1时，可知函数有两个极值点；
（3）当

0＜m＜2 1 m ＞2

，或

m＞2 0＜ 1 m ＜2

，即0＜m＜

1

2

，或m＞2时，可知函数有一个极值点．