题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=ax²+x．对于∀x∈（0，1]，|f（x）|≤1成立，求实数a的取值范围．

答案

解法一：|f（x）|≤1⇔-1≤f（x）≤1⇔-1≤ax²+x≤1，x∈（0，1]=1 ①
①式等价于-

1

x2

-

1

x

≤a≤

1

x2

-

1

x

在x∈（0，1]上恒成立．
设t=

1

x

，则t∈[1，+∞），则有-t²-t≤a≤t²-t，所以只须，

a≥(-t2-t)max=-2 a≤(t2-t)min=0

⇒-2≤a≤0，又a≠0，
∴-2≤a＜0．
综上，所求实数a的取值范围是[-2，0）．
解法二：由|f（x）|≤1得-1≤ax²+x≤1，x∈（0，1]，
（1）当a＞0时，函数f（x）=ax²+x的图象开口方向向上，对称轴为x=-

1

2a

＜0，
且经过原点（0，0），只需f（1）=a+1≤1，即a≤0，矛盾!
（2）当a＜0时，函数f（x）=ax²+x的图象开口方向向下，对称轴为x=-

1

2a

＞0，
且经过原点（0，0），f（1）=a+1＜1，
（i）当-

1

2a

＜

1

2

，即a＜-1时，需满足f(x)max=f(-

1

2a

)=-

1

4a

≤1
及f（x）_min=f（1）=a+1≥-1，即-2≤a≤-

1

4

；
（ii）当

1

2

≤-

1

2a

≤1，即-1≤a≤-

1

2

时，需满足f(x)max=f(-

1

2a

)=-

1

4a

≤1，
即a≤-

1

4

，
∴-1≤a≤-

1

2

；
（iii）当-

1

2a

≥1，即-

1

2

≤a＜0，需满足f（x）_max=f（1）=a+1≤1，这显然成立；
综上，实数a的取值范围是[-2，0）．