题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f(x)=loga

1-mx

x-1

是奇函数（其中0＜a＜1）
（1）求m值；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．

答案

（1）由题意可得：f（-x）=-f（x），
所以loga

1-mx

x-1

+loga

1+mx

-x-1

=0对任意x∈D恒成立，
即（m²-1）x²=0恒成立，
所以m=±1，
当m=1时，函数无意义，故舍去，
∴m=-1；
（2）由（1）可得：f(x)=loga

x+1

x-1

，并且f（x）在（1，+∞）上单调递增．
证明：设1＜x₁＜x₂，则

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，即

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

＞0，
又∵0＜a＜1，
∴loga

x1+1

x1-1

＜loga

x2+1

x2-1

，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f(x)=loga

x+1

x-1

在（1，+∞）上单调递增．