题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=ax+

b

x

，且f（1）=2，f(2)=

5

2

（1）求a、b的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．

答案

（1）依题意有

f(1)=a+b=2 f(2)=2a+ b 2 = 5 2

，…（2分）    
 得

a=1 b=1

…（4分）
（2）f(x)=x+

1

x

的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，…（5分）
∵f(-x)=-x-

1

x

=-f(x)
∴函数f（x）为奇函数．             …（7分）
（3）f（x）在（1，+∞）上是增函数，证明如下
设x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂…（8分）

f(x1)-f(x2)=x1+ 1 x1 -x2- 1 x2 =x1-x2+ x2-x1 x1x2 =(x1-x2)(1- 1 x1x2 ) = (x1-x2)(x1x2-1) x1x2

∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0…（12分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）…（13分）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．    …（14分）