已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．（I）若函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求f（x）的解析式；（II）若x∈[0，1] - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）．
（I）若函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求f（x）的解析式；
（II）若x∈[0，1]，函数f（x）图象上的任意一点的切线斜率为k，当k≥-1恒成立时，求实数a的取值范围．

答案

（I）由f′（x）=-3x²+2ax得x=0或x=

.
∴

=4得a=6．（3分）
当x＜0，f′（x）＜0．当0＜x＜4时，f′（x）＞0．
故当x=0时，f（x）达到极小值f（0）=b，∴b=-1．
∴f（x）=-x³+6x²-1；（6分）
（II）当x∈[0，1]时，
k=f′（x）=-3x²+2ax≥-1恒成立，
即令g（x）=3x²-2ax-1≤0
对一切x∈[0，1]恒成立，（9分）
只需

g(0)=-1≤0

g(1)=2-2a≤0

即a≥1．
所以，实数a的取值范围为[1，+∞）．（12分）

核心考点

试题【已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．（I）若函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求f（x）的解析式；（II）若x∈[0，1]】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a＞0）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上总存在x₁，x₂，使得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，求实数a的取值范围．

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若函数f（x）=

x2(x＞0)

g(x)(x＜0)

是奇函数，则函数g（x）的解析式是______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知x∈R，奇函数f（x）=x³-ax²-bx+c在[1，+∞）上单调，则字母a，b，c应满足的条件是______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-2，则f(log

6)的值等于（　　）

A．-

B．-

C．

D．-

题型：单选题难度：简单| 查看答案

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（-1，3），（0，0），（2，0）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若∀x∈[0，3]，3t-t²-3≤f（x）≤12-t²成立，求t的取值范围．

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