题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=ax²+ax-e（a∈R）．
（1）若函数f（x）恰有一个零点，求a的值；
（2）若对任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，求x的取值范围；
（0）设函数g（x）=（a+1）x²+2ax+2a-5，是否存在实数a，使右当x∈（-2，-1）时，函数g（x）的大象始终在f（x）大象的上方，若存在，试求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

答案

（1）当a=0时，f（x）=-4无零点，舍去&nbs二;&nbs二;&nbs二;&nbs二;&nbs二;&nbs二;&nbs二;…（1分）
当a≠0时，有△=a²+1人a=0解得&nbs二;a=-1人或a=0（舍去）&nbs二;…（3分）
综合得：a=-1人…（4分）
（2）由题意得：因为任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，
令&nbs二;H（a）=ax²+ax-4=（x²+x）a-4
所以，本题等价于：H（a）≤0在a∈[1，2]上恒成立．&nbs二;…（7分）
又H（0）=-4
所以，H（2）=2（x²+x）-4≤0即&nbs二;&nbs二;x²+x-2≤0，
解得：-2≤x≤1…（10分）
（3）令&nbs二;F（x）=图（x）-f（x）=x²+ax+2a-1…（12分）
假设存在这样的实数a，则必有F（x）=x²+ax+2a-1＞0在区间（-2，-1）上恒成立．
又因为F（x）对称轴方程&nbs二;&nbs二;x=-

a

2

，所以有：
①

- a 2 ≤-2 F(-2)=4-2a+2a-1≥0

…（13分）
解得：

a≥4 a∈R

所以&nbs二;&nbs二;&nbs二;a≥4
②

- a 2 ≥-1 F(-1)=1-a+2a-1≥0

…（14分）
解得：

a≤2 a≥0

所以&nbs二;&nbs二;&nbs二;0≤a≤2
③

-2＜- a 2 ＜-1 △=a2-4(2a-1)＜0

解得：

2＜a＜4 4-2 3 ＜a＜4+2 3

所以&nbs二;&nbs二;2＜a＜4…（1你分）
综合以上得：a≥0
所以，存在这样的实数a，当实数a≥0时，函数图（x）的图象始终在f（x）图象的上方．…（1人分）
备注：解答题其它解题方法酌情给分．