已知函数f（x）=sin（x+a）+3cos（x-a），其中0≤a＜π，且对于任意实数x，f（x）=f（-x）恒成立．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的最大 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：聊城一模

已知函数f（x）=sin（x+a）+

cos（x-a），其中0≤a＜π，且对于任意实数x，f（x）=f（-x）恒成立．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的最大值和单调递增区间．

答案

（1）由已知得f（x）=f（-x）
即sin（x+a）+

cos（x-a）=sin（-x+a）+

cos（-x-a）
所以cosa+

sina=0，于是tana=-

又因为0＜a＜π
∴a=

5π

（2）由（1）可知f（x）=sin（x+

5π

）+

cos（x-

5π

）=sinxcos

5π

+cosxsin

5π

cosxcos

5π

sinxsin

5π

=-cosx
由此可知，函数f（x）的最大值为1．
单调递增区间为：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）

核心考点

试题【已知函数f（x）=sin（x+a）+3cos（x-a），其中0≤a＜π，且对于任意实数x，f（x）=f（-x）恒成立．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的最大】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）的定义域为R，对任意x₁，x₂都满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x＞0时f（x）＞0．
（1）试判断f（x）的奇偶性和单调性；
（2）当θ∈[0，

]时，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0对所有的θ均成立，求实数m的取值范围．

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设函数f（x）=（x²+1）（x+a）为奇函数，则a=______．

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已知函数f（x）=x|x-a|，a∈R是常数．
（1）若a=1，求y=f（x）在点P（-1，f（-1））处的切线；
（2）是否存在常数a，使f（x）＜2x+1对任意x∈（-∞，2）恒成立？若存在，求常数a的取值范围；若不存在，简要说明理由．

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已知A（1，f"（1））是函数y=f（x）的导函数图象上的一点，点B为（x，ln（x+1）），向量

=(1，1)，令f(x)=

•

．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）若x＞0，证明：f(x)＞

2x2+3x-10

2(x+2)

；
（3）若x∈[-1，1]时，不等式

x2≤f(x2)+m2-

m-3都恒成立，求实数m的取值范围．

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已知函数f（x）=x|x|+px+q（x∈R），给出下列四个命题：①f（x）为奇函数的充要条件是q=0；②f（x）的图象关于点（0，q）对称；③当p=0时，方程f（x）=0的解集一定非空；④方程f（x）=0的解的个数一定不超过两个．
其中所有正确命题的序号是______．

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