题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=x,求使f(x)=-在[0,2 009]上的所有x的个数.
答案
解析
∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x), 2分
∴f(x)是以4为周期的周期函数, 4分
(2)解 当0≤x≤1时,f(x)=x,
设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f(-x)=(-x)=-x.
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x,即f(x)=x. 7分
故f(x)= x(-1≤x≤1) 8分
又设1<x<3,则-1<x-2<1,
∴f(x-2)= (x-2), 10分
又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f((-x)+2)=-[-f(-x)]=-f(x),
∴-f(x)=(x-2),
∴f(x)=-(x-2)(1<x<3). 11分
∴f(x)= 12分
由f(x)="-" ,解得x=-1.
∵f(x)是以4为周期的周期函数.
∴f(x)="-" 的所有x="4n-1" (n∈Z). 14分
令0≤4n-1≤2 009,则≤n≤,
又∵n∈Z,∴1≤n≤502 (n∈Z),
∴在[0,2 009]上共有502个x使f(x)="-" . 16分
核心考点
试题【已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证:f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=x,求使f】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)f(x)=(x-2);
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
(1)证明:函数y=f(x)是R上的减函数;
(2)证明:函数y=f(x)是奇函数;
(3)试求函数y=f(x)在[m,n](m,n∈Z)上的值域.
(1)试判断f(x)的奇偶性;
(2)若-≤a≤,求f(x)的最小值.
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)证明:f(x)>0.
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