题目

题型：解答题难度：困难来源：上海高考真题

已知函数有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数，
（1）如果函数的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数和（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（利用你的研究结论）

答案

解：（1）由所给函数性质知，
当x＞0时，x=时函数取最小值2；
所以对于函数，当x=时取得最小值2，
所以，
∴b=log₂9；
（2）设，则，
由条件知在时为单调增函数，时为单调递减函数，
而t=x²在（0，+∞）为单调增函数，在（-∞，0）上为单调减函数，
所以由复合函数单调性知在均单调递增，
解得，
即的单调增区间为；
当均单调递减，
解得，
即函数的单调减区间为。
（3）由函数的性质将这种类型的函数推广如下：
①当n为偶数时（n＞0），函数的单调增区间为，单调减区间为；
②当n为奇数时（n＞0）函数的单调增区间为，单调减区间为；
对于，
而函数上为减函数，在[1，2]上为增函数，
∴当x=1时，的最小值为时，的最大值，
所以F(x)在x=1时，取最小值为F(1)=2ⁿ+2ⁿ=2ⁿ⁺¹，
当x=2和时，
F(x)的最大值为F(2)=。