题目

题型：解答题难度：一般来源：北京期中题

设奇函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0+∞），且在（0，+∞）上为增函数．
（1）若f（1）=0，解关于x的不等式：f（1+log_ax）＞0（0＜a＜1）．
（2）若f（﹣2）=﹣1，当m＞0，n＞0时，恒有f（mn）=f（m）+f（n），求|f（t）+1|＜1时，t的取值范围．

答案

解：（1）∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则在（﹣∞，0）也单调递增
∵f（1）=﹣f（﹣1）=0
∴f（﹣1）=0
当x＞1或﹣1＜x＜0时，f（x）＞0；
当0＜x＜1或x＜﹣1时，f（x）＜0
∵f（1+log_ax）＞0
∴1+log_ax＞1或﹣1＜1+log_ax＜0
∵0＜a＜1
∴0＜x＜1或a﹣1＜x＜2﹣2
（2）∵f（﹣2）=﹣1
∴f（2）=﹣f（﹣2）=1
∵m＞0，n＞0时，恒有f（mn）=f（m）+f（n），
∴f（4）=2f（2）=2，f（﹣4）=﹣2，f（1）=2f（1），
则f（1）=﹣f（﹣1）=0
∵|f（t）+1|＜1
∴﹣2＜f（t）＜0
∴﹣4＜t＜﹣1