题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

4

x

+9x，
（1）若x＞0，求f（x）的最小值及此时的x值．
（2）若x∈(0，

2

5

]，求f（x）的最小值及此时的x值．

答案

（1）因为x＞0，所以由基本不等式得f(x)=

4

x

+9x≥2

4 x ⋅9x

=12，
当且仅当

4

x

=9x，即x2=

4

9

，x=

2

3

时取等号，
所以当x=

2

3

时，函数f（x）有最小值12．
（2）设0＜x1＜x2≤

2

5

，则f(x1)-f(x2)=

4

x1

+9x1-(

4

x2

+9x2)

4(x2-x1)

x1x2

+9(x1-x2)=(x1-x2)

9x1x2-4

x1x2

，
因为0＜x1＜x2≤

2

5

，所以x₁-x₂0．
所以f（x₁）＞f（x₂），即函数在x∈(0，

2

5

]上为减函数．
所以当x=

2

5

时，函数的最小值为f(x)min=f(

2

5

)=

68

5

．