题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f（-

1

2

）≥f（k²-sin²x）对一切实数x恒成立？若成立，求出k的取值范围，若不成立，说明理由．

答案

假设存在实数k满足题意，
∵f（x）在定义域（-∞，1]上是减函数，
∴

- 1 2 ≤k2-sin2x k2-sin2x≤1

，即-1+k2≤sin2x≤

1

2

+k2一切实数x恒成立，
∵0≤sin²x≤1，∴

-1+k2≤0 1 2 +k2≥1

，解得

1

2

≤k2≤1，
则-1≤k≤-

2

2

或

2

2

≤k≤1，
故当-1≤k≤-

2

2

或

2

2

≤k≤1时不等式恒成立．