设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ>0),画面的上、下各留8cm空白,左、右各留5cm空白. (1)用λ表示宣传画所用纸张面积S=f(λ); (2)判断函数S=f(λ)在(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论; (3)当λ取何值时,宣传画所用纸张面积S=f(λ)最小? |
(1)设画面高为xcm,宽为λxcm,则λx2=4840. 所以纸张面积为S=f(λ)=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,---------(2分) 将x=代入上式,得S=f(λ)=5000+44(8+).----------(4分) (2)设0<λ1<λ2≤ 则f(λ1)-f(λ2)=44[8(-)+(-)]= 44[8(-)+(-)]=44(-)(8-)-----------(6分) 当0<λ1<λ2≤时,<,∴>8, ∴8-<0, ∴f(λ1)-f(λ2)>0,即f(λ1)>f(λ2), ∴函数S=f(λ)在(0,]上是减函数. 同理可证S=f(λ)在[,+∞)上是增函数.-----------(8分) (3)由(2)知,当λ∈(0,]时,S=f(λ)是减函数,∴f(λ )≥f() 当λ∈[,+∞)时,S=f(λ)是增函数,∴f(λ )≥f(); ∴当λ=时,Smin=f()=6760cm2 答:λ=时,使所用纸张面积最小为6760cm2-----------(10分) |
核心考点
试题【设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ>0),画面的上、下各留8cm空白,左、右各留5cm空白.(1)用λ表示宣传画所用纸张面积】;主要考察你对
函数的单调性与最值等知识点的理解。
[详细]
举一反三
若f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=,则f()=______. |
在实数的原有运算法则下,我们定义新运算“⊕”为:当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b2.则函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x)(其中x∈[-2,2])的最大值等于(上式中“•”和“-”仍为通常的乘法和减法)( ) |
已知f(x)=,若f(-)+f(m)=-1,且1<m<2,则m=______. |
设函数f(x)=,则f(f(2))=______. |