题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)求f(0)的值;
(2)函数g(x)=2x-1在区间[0,1]上是否同时适合①②③?并予以证明;
(3)假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f(f(x0))=x0,求证:f(x0)=x0.
答案
∴f(0)=0
(2 ) 证明:由题设知:g(1)=2-1=1;
由x∈[0,1]知2x∈[1,2],得g(x)∈[0,1],有g(x)≥0;
设x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则2x1≥1,2x2≥1;
∴g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=(2x1+x2-1)-[(2x1-1)+(2x2-1)]=(2x1-1)(2x2-1)≥0
即g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2)
∴函数g(x)=2x-1在区间[0,1]上同时适合①②③.
(3)证明:若f(x0)>x0,则由题设知:f(x0)-x0∈[0,1],且由①知f[f(x0)-x0]≥0,
∴由题设及③知:x0=f(f(x0))=f[(f(x0)-x0)+x0]=f[f(x0)-x0]+f(x0)≥f(x0)
矛盾;
若f(x0)<x0,则则由题设知:x0-f(x0)∈[0,1],且由①知f[x0-f(x0)]≥0,
∴同理得:f(x0)=f[(x0-f(x0))+f(x0)]=f[x0-f(x0)]+f(f(x0))≥f(f(x0))=x0,矛盾;
故由上述知:f(x0)=x0.
核心考点
试题【已知定义域为[0,1]的函数同时满足以下三个条件:①对任意x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
x |
(1)求f(
1 |
2 |
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)求方程4sinx=f(x)的根的个数.
A.0 | B.2 | C.4 | D.6 |
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